منوی اصلی

پیوندهای روزانه

آرشیو مطالب

آرشیو موضوعی

پيوندها

  RSS  

 معرفي سايت‌هاي رياضي

 

 

 

 

|+| نوشته شده توسط علیرضا در دوشنبه سوم اردیبهشت 1386  |

 نظریه گراف

 

نظریه گراف شاخه ای از ریاضیات است که درباره اشیاء خاصی در ریاضی به نام گراف بحث می‌کند. به صورت شهودی گراف نمودار یا دیاگرامی است شامل تعدادی رأس که با یالهایی به هم وصل شده‌اند. تعریف دقیق‌تر گراف به این صورت است که گراف مجموعه‌ای از رأس‌ها است که توسط خانواده‌ای از زوج‌های مرتب که همان یال‌ها هستند به هم مربوط شده‌اند.

یالها بر دو نوع ساده و جهت دار هستند که هر کدام در جای خود کاربردهای بسیاری دارد. مثلا اگر صرفا اتصال دو نقطه -مانند اتصال تهران و زنجان با کمک آژادراه- مد نظر شما باشد کافیست آن دو شهر را با دو نقطه نمایش داده و اتوبان مزبور را با یالی ساده نمایش دهید. اما اگر بین دو شهر جاده ای یکطرفه وجود داشته باشد آنگاه لازمست تا شما با قرار دادن یالی جهت دار مسیر حرکت را در آن جاده مشخص کنید.

آغاز نظریهٔ گراف به سدهٔ هجدهم بر می‌گردد. اویلر ریاضیدان بزرگ مفهوم گراف را برای حل مسئله پل‌های کونیگسبرگ ابداع کرد اما رشد و پویایی این نظریه عمدتاً مربوط به نیم سدهٔ اخیر و با رشد علم داده‌ورزی (انفورماتیک) بوده است.

مهم‌ترین کاربرد گراف مدل‌سازی پدیده‌های گوناگون و بررسی بر روی آنهاست. با گراف می‌توان به راحتی یک نقشه بسیار بزرگ یا شبکه‌ای عظیم را در درون یک ماتریس به نام ماتریس وقوع گراف ذخیره کرد و یا الگوریتمهای‌ مناسب مانند الگوریتم دایسترا یا الگوریتم کروسکال و ... را بر روی آن اعمال نمود.

یکی از قسمت‌های پركاربرد نظریهٔ گراف، گراف‌های مسطح یا هامنی است که به بررسی گراف‌هایی می‌پردازد كه می‌توان آن‌ها را به نحوی روی صفحه كشید كه یال‌ها جز در محل راس ها یكدیگر را قطع نكنند. این نوع گراف در ساخت جاده ها و حل مساله کلاسیک و قدیمی سه خانه و سه چاه آب به کار می رود.

نظریه گراف یکی از پرکاربردترین نظریه ها در شاخه های مختلف علوم مهندسی (مانند عمران)، باستانشناسی(کشف محدوده یک تمدن) و ... است.

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 ترکیبات

 

ترکیبیات شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی دسته‌هایی (معمولا متناهی) از اشیا می‌پردازد که در شرایط معینی صدق می‌کنند. ریشه آن در روش‌های مربوط به شمردن دسته‌بندی‌های مختلف از اشیا یا افراد بوده است. امروز مبحث شمارش همهٔ ترکیبیات را در بر نمی‌گیرد بلکه ترکیبیات یکی از شاخه‌های بسیار وسیع عالم ریاضی است و شمارش بخشی از آن است.

شمارش و شمردن حالات انجام یک کار از زمانهای دور مورد بررسی بوده‌است. گویا این کار بیش از همه در جنگها برای شمارش سربازان به کار می‌رفته‌است.

در این قسمت روشهایی را برای شمردن بدون شمارش دانه به دانه معرفی می‌کنیم. ابتدا از دو اصل پر کاربرد شروع می‌کنیم:

۱) اصل ضرب: اصل ضرب می‌گوید که «اگر ما k شی داشته و هر یک را به m شی قسمت کنیم آنگاه mk شی خواهیم داشت».این اصل بسیار بدیهی است.حال ما آن را به صورتی پر کاربرد تر بیان می‌کنیم: «اگر پیشامدی به 2 پیشامد پشت سر هم تقسیم گردد و پیشامد اول به k حالت و پیشامد دوم به m حالت واقع شود آنگاه کل پیشامد به mk حالت واقع می‌شود.»

مثال: شخصی قصد سفر از شهر A به شهر B و سپس شهر C را دارد. از شهر A به شهر B، پنج جاده و از B به C چهار راه وجود دارد. اگر از A به C جادهٔ مستقل وجود نداشته باشد به چند طریق می‌توان از A به C رفت؟ جواب: واضح است که بنا بر اصل ضرب پاسخ برابر ۲۰ می‌باشد. این ساده‌ترین نوع سوال ترکیبیات است.

در اصل شمارش اگر کاری را بتوان به m طریق و کار دیگری را بتوان به n طریق انجام داد و اگر این دو کار را نتوان هم‌زمان انجام داد آنگاه این یا آن کار را می‌توان به m + n طریق انجام داد.

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 جبرخطی

 

جبر خطّی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی و مطالعۀ بردارها، فضاهای برداری (فضاهای خطّی)، تبدیلات خطی، و دستگاه‌های‌ معادلات خطی می‌پردازد.

علاوه بر کاربردهای آن در زمینه‌هایی از خود ریاضیات همانند جبر مجرد، آنالیز تابعی، هندسۀ تحلیلی، و آنالیز عددی، جبر خطّی استفاده‌های وسیعی نیز در فیزیک، مهندسی، علوم طبیعی، و علوم اجتماعی پیدا‌کرده است

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 حساب گزاره‌ها

 

حساب گزاره‌ها یا حساب گزاره‌ای (Propositional calculus) سیستمی‌ست صوری (formal) که به نمایش مواد و اصول منطق گزاره‌ای (منطق جمله‌ای) می‌پردازد

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 منطق محمولات

 

منطق محمولات (Predicate logic) یا منطق درجهٔ اوّل (First-order logic - FOL) زبانی‌ست همه‌جا‌گیر در علوم نمادی (symbolic)، که توسّط دانشمندان مختلف در علوم ریاضی، فلسفه، زبان‌شناسی، علوم رایانه، و به طور اخصّ، در هوش مصنوعی، و نمایش دانش مورد استفاده قرار می‌گیرد

 

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 منطق فازی

مَنطِق (از عربی، =آنچه به گفته در آمده) را عموماً بررسی استدلال‌ها می‌دانند. گرچه در تعریف دقیق منطق بین فیلسوفان و منطق‌دانان بحث است ولی در هر حال کاربرد منطق در تشخیص استدلال درست از استدلال نادرست و مغالطه است.

در گذشته منطق شاخه‌ای از فلسفه شمرده می‌شد ولی از میانه سال‌های ۱۸۰۰ در ریاضیات و در دهه‌های اخیر در علم رایانه به آن می‌پردازند.

 

ریاضیات فازی یک فرا مجموعه از منطق بولی است که بر مفهوم درستی نسبی، دلالت می کند. منطق کلاسیک هر چیزی را بر اساس یک سیستم دوتائی نشان می دهد ( درست یا غلط، 0 یا 1، سیاه یا سفید) ولی منطق فازی درستی هر چیزی را با یک عدد که مقدار آن بین صفر و یک است نشان می دهد. مثلاً اگر رنگ سیاه را عدد صفر و رنگ سفید را عدد 1 نشان دهیم، آن گاه رنگ خاکستری عددی نزدیک به صفر خواهد بود. در سال 1965، دکتر لطفی‌زاده نظریه سیستم‌های فازی را معرفی کرد. در فضایی که دانشمندان علوم مهندسی به دنبال روش‌های ریاضی برای شکست دادن مسایل دشوارتر بودند، نظریه فازی به گونه‌ای دیگر از مدل‌سازی، اقدام کرد.


منطق فازی معتقد است که ابهام در ماهیت علم است. بر خلاف دیگران که معتقدند که باید تقریب‌ها را دقیق‌تر کرد تا بهره‌وری افزایش یابد، لطفی‌زاده معتقد است که باید به دنبال ساختن مدل‌هایی بود که ابهام را به عنوان بخشی از سیستم مدل کند. در منطق ارسطویی، یک دسته‌بندی درست و نادرست وجود دارد. تمام گزاره‌ها درست یا نادرست هستند. بنابراین جمله «هوا سرد است»، در مدل ارسطویی اساساً یک گزاره نمی‌باشد، چرا که مقدار سرد بودن برای افراد مختلف متفاوت است و این جمله اساساً همیشه درست یا همیشه نادرست نیست. در منطق فازی، جملاتی هستند که مقداری درست و مقداری نادرست هستند. برای مثال، جمله "هوا سرد است" یک گزاره منطقی فازی می‌باشد که درستی آن گاهی کم و گاهی زیاد است. گاهی همیشه درست و گاهی همیشه نادرست و گاهی تا حدودی درست است. منطق فازی می‌تواند پایه‌ریز بنیانی برای فن‌آوری جدیدی باشد که تا کنون هم دست‌آورد‌های فراوانی داشته است.

کاربردها:

از منطق فازی برای ساخت کنترل کننده های لوازم خانگی از قبیل ماشین رختشویی (برای تشخیص حداکثر ظرفیت ماشین، مقدار مواد شوینده، تنظیم چرخهای شوینده) و یخچال استفاده می شود. کاربرد اساسی آن تشخیص حوزه متغیرهای پیوسته است. برای مثال یک وسیله اندازه گیری دما برای جلوگیری از قفل شدن یک عایق ممکن است چندین عضو مجزا تابعی داشته باشد تا بتواند حوزه دماهایی را که نیاز به کنترل دارد به طور صحیح تعریف نماید. هر تابع، یک ارزش دمایی مشابه که حوزه آن بین 0 و 1 است را اختیار می کند. از این ارزشهای داده شده برای تعیین چگونگی کنترل یک عایق استفاده می شود.

در شکل روبرو، سرد بودن، گرم بودن و داغ بودن، توابعی برای مقایسه درجه حرارت هستند و هر نقطه ای روی این خطوط می تواند دارای یکی از سه ارزش بالا باشد. به عنوان مثال برای یک درجه حرارت خاص که در شکل با یک خط نشان داده شده است، می توان گفت: «مقداری سرد است»،«اندکی گرم است» یا «اصلاً داغ نیست».
حال با مثال دیگری اهمیت این علم را بیشتر درک مینمائیم:
یک انسان در نور کافی قادر به درک میلیونها رنگ میباشد.ولی یک روبوت چگونه میتواند این تعداد رنگ را تشخیص دهد؟ حال اگر بخواهیم روباتی طراحی کنیم که قادر به تشخیص رنگها باشد از منطق فازی کمک میگیریم و با اختصاص اعدادی به هر رنگ آن را برای روبوت طراحی شده تعریف میکنیم.
از کاربردهای دیگر منطق فازی میتوان به کاربرد این علم در صنعت اتومبیل سازی(در طراحی سیستم ترمز ABS و کنترل موتور برای بدست آوردن بالاترین راندمان قدرت)،در طراحی بعضی از ریزپردازنده ها و طراحی دوربینهای دیجیتال اشاره کرد.

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 مجموعه تهی

 

مجموعه‌ای را که هیچ عضوی ندارد مجموعه تهی می‌نامیم و با نماد نشان می‌دهیم.

خواص مجموعه تهی

مجموعه تهیه به دلیل نداشتن عضو دارای خواص ویژه‌ای است:

• اگر فرض کنیم E مجموعه‌ای است تهی، آنگاه به ازای هر مجموعه دلخواه چون Y می‌توان نشان داد که Y زیرمجموعه E است. دلیلی که برای اثبات این ادعا می‌توانیم بیاوریم پاسخ به این سوال است:

چه عاملی می‌تواند مانع زیرمجموعه بودن E از Y باشد؟ داشتن عضوی چون e در مجموعه E که در مجموعه Y وجود نداشته باشد. اما E مجموعه‌ای است که هیچ عضوی ندارد بنابراین عضوی مانند e وجود ندارد که در عدم عضویت Y صدق کند. با توجه به شرایط موجود شرط وجود رد و حکم اثبات می‌شود.

• مجموعه تهی ، مجموعه‌ای یکتاست. فرض کنیم E و 'E دو مجموعه تهی باشند با توجه به مطالب فوق می‌توانیم بنویسیم 'E و E زیرمجموعه همدیگرند، پس E'=E. بنابراین همه مجموعه‌های تهی برابرند از این رو مجموعه تهی یکتاست.

 

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 گزاره نما

 

تعریف

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 گزاره (Statement)

 

گزاره

گزاره (statement) جمله‌ای است خبری که دقیقاً درست یا نادرست باشد، هر چند که درستی یا نادرستی آن بر ما پوشیده باشد.
به این ترتیب جملات امری،پرسشی و عاطفی نمی‌توانند به عنوان یک گزاره تلقی بشوند و بعلاوه همه جملات خبری هم نمی‌توانند گزاره باشند.

به عنوان مثال جمله«37 عددی اول است» یا «2>3» همگی جملات خبری هستند و یک گزاره‌اند ولی جمله‌ خبری «سعدی شاعر خوبی است.» نمی‌تواند یک گزاره تلقی شود چرا که درستی یا نادرستی آن دقیقاً معین نمی‌باشد(بر حسب سلیقه تغییر می‌کند). همچنین جملات عاطفی و امری و پرسشی همچون «چه گل زیبایی!» یا «لطفا درب را باز کنید» و یا «آیا 155 بر پنج بخشپذیر است؟» نمی‌توانند یک گزاره باشند چرا که نمی‌توان بر روی آنها ارزش درستی یا نادرستی قرار داد و اساساً ارزش گذاری آنها بی‌معنی خواهد بود.

گزاره را با حروفی همچون ...,p,q,r,s نشان می‌دهیم. هر گزاره درست را با «د» ،«T»، «1» نشان می‌دهیم (T حرف اول کلمه true به معنی "درست" است) و هر گزاره نادرست را با «ن» ،«0» ،«F» نشان می‌دهیم (F حرف اول کلمه false به معنی نادرست است). درستی یا نادرستی یک گزاره را ارزش آن گزاره می‌گوییم. یک گزاره چون p را یک گزاره ساده می‌گوییم و گزاره‌ای را که از ترکیب دو یا چند گزاره بوجود می‌آید گزاره مرکب می‌گوییم. گزاره‌های مرکب را معمولاً با حروف بزرگ انگلیسی چون P,Q,R,S نشان می‌دهیم. در ادامه در مورد ترکیب گزاره ها توضیح داده می‌شود.

• حال به عنوان تمرین می‌خواهیم تعیین کنیم کدام یک از عبارات زیر گزاره هستند:
  • عدد بزرگی است.
  • فصل پاییز دل انگیز است!
  • 4->7-
  • عددی اول است.

 

• بررسی عبارت اول:

این عبارت یک گزاره نمی‌باشد. چرا که درستی یا نادرستی آن دقیقاً مشخص نیست و ممکن است از دیدگاه‌های مختلف درست یا نادرست باشد.

• بررسی عبارت دوم:

این عبارت گزاره نمی‌باشد. چرا که اولاً یک جمله عاطفی است(گزاره جمله‌ای خبری است) و همچنین ارزش آن دقیقاً مشخص نیست و بسته به سلیقه افراد می‌تواند درست یا نادرست باشد.

• بررسی عبارت سوم:

این عبارت یک گزاره است چرا که یک جمله خبری است و درستی و نادرستی آن کاملاً مشخص است.

• بررسی عبارت چهارم:

این عبارت یک گزاره است چرا که درستی و نادرستی آن دقیقاً قابل تعیین است(چگونه؟).

گزاره‌ای را که از شی یا اشیا خاصی خبر دهد گزاره شخصی می‌گوییم و گزاره‌ای که خبری در مورد هر چیز از دسته معینی از اشیا می‌دهد گزاره کلی می‌گوییم. همچنین یک گزاره جزیی یا وجودی گزاره‌ای است که خبر می‌دهد در میان دسته ای از اشیا حداقل یک شی وجود دارد که خاصیتی خاص را دارد.

رابطه بین گزاره‌ها

---

گزاره‌های هم ارز

دو گزاره ساده یا مرکب P و Q دارای یک ارزش باشند یعنی برای همه حالات منطقی هر دو درست یا نادرست باشند گزاره P را هم ارز منطقی یا به طور ساده هم ارز گزاره Q می‌گوییم و می‌نویسیم:

لازم به توضیح است که دو گزاره که هم ارز منطقی باشند در منطق ریاضی یکسان تلقی خواهند شد. معمولا برای تعیین ارزش و هم ارز بودن دو گزاره از جدولی به نام جدول ارزش(truth table) استفاده می‌کنیم که در ادامه نحوه استفاده از آن را توضیح می‌دهیم.

نقیض گزاره

نقیض یک گزاره، گزاره‌ای است که ارزش آن دقیقاً مخالف ارزش گزاره اولیه باشد.
اگر p یک گزاره باشد آنگاه نقیض p را با نمادهای:،،، نشان می‌دهیم و می‌خوانیم «چنین نیست که p» ، «نه p»، «نقیض p».
لازم به تذکر است که نماد معمول برای نمایش نقیض یک گزاره p~ است و نماد p! در زبان برنامه نویسی کامپیوتر کاربردی فراوان دارد.
پس به این ترتیب نقیض کردن یک گزاره عبارت است ساختن گزاره‌ای جدید که ارزش آن دقیقاً مخالف ارزش گزاره اصلی است و این کار معمولاً با آوردن لفظ «چنین نیست» در ابتدا گزاره اصلی انجام می‌شود. به عنوان مثال نقیض گزاره «7 عددی اول است» به صورت «چنین نیست که 7 عددی اول باشد» یا «7 عددی اول نیست» نوشته می‌شود.

جدول ارزش نقیض یک گزاره نسبت به خود آن گزاره به این صورت است:

مشاهدی می‌کنید در همه حالات منطقی گزاره p~ ارزشی دقیقا مخالف p دارد.
حال می‌خواهیم به عنوان تمرین گزاره‌های زیر را نقیض کنیم:

• 3<7
• .
• پایتخت عراق بغداد است.

 

• بررسی عبارت اول:

نقیض این گزاره به این صورت است:

• بررسی عبارت دوم:

نقیض این گزاره به این صورت است:

• بررسی عبارت سوم:

نقیض این گزاره به این صورت است:«پایتخت عراق بغداد نیست.»

ترکیب فصلی

اگر p و q دو گزاره باشند گزاره مرکب حاصل از ترکیب دو گزاره با لفظ «یا» را ترکیب فصلی دو گزاره می‌گوییم.
ترکیب فصلی دو گزاره p و q را با نمادهای و p|q و p+q و نشان می‌دهیم و می‌خوانیم «p یا q».

• لازم به توضیح است که نماد معمول برای نمایش ترکیب فصلی دو گزاره است که این نماد از حرف اول کلمه لاتین vel به معنی یا (or) گرفته شده است.

جدول ارزش ترکیب فصلی دو گزاره به این صورت است:

مشاهده می‌کنید که ترکیب فصلی دو گزاره تنها در حالتی نادرست است که هر دو گزاره در ترکیب نادرست باشند و اگر حداقل یکی از آنها درست باشند گزاره در کل درست است.

• به عنوان مثال گزاره «عدد 2 زوج است یا 1 اول است» با وجود نادرست بودن یکی از گزاره‌ها (1 اول است)، گزاره‌ای درست است چون حداقل یکی از گزاره‌ها (عدد 2 زوج است) در ترکیب فصلی درست است ولی گزاره «125 بر دو بخشپذیر است یا پایتخت عراق بیروت است» گزاره‌ای نادرست است چون هر دو گزاره شریک در ترکیب فصلی نادرست می باشند.

توضیح در مورد انواع «یا» در منطق

لازم به توضیح است که آن نوع «یا» که در منطق ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرد با آن نوع «یا» که ما گاهی در زبان عادی استفاده می‌کنیم متفاوت است، لذا برای جلو گیری از ابهام در نوشتار در مورد «یا» توضیحی ارائه می‌دهیم.
به گزاره «من درجه فوق لیسانس یا دکترا را دریافت می‌کنم.» دقت کنید. این گزاره مرکب ترکیب فصلی دو گزاره است و به این معنی است که گوینده امکان دارد هر دو درجه لیسانس و دکترا را دریافت کند که در این صورت امکان درست بودن گزاره اول و گزاره دوم به صورت توام وجود دارد. پس در اینجا در ترکیب فصلی pVq هم p و هم q امکان درست بودن را دارند.
این نوع «یا» همان «یا» است که ما در منطق ریاضی از آن استفاده می‌کنیم و به آن یای منطقی(OR) یا یای شمول(inclusive disjunction) می‌گوییم.

حال به گزاره «پویان در مدرسه است یا در سینما» دقت کنید. در این گزاره مرکب که ترکیبی از دو گزاره «پویان در مدرسه است» و «پویان در سینما است» می‌باشد، امکان درست بودن دو گزاره به صورت توام وجود ندارد، به عبارت دیگر ممکن نیست که پویان در یک لحظه هم در مدرسه و هم در سینما باشد. در اینجا در ترکیب دو گزاره بوسیله «یا» از یای منطقی استفاده نشده است بلکه از نوعی «یا» به نام یای مانع جمع
(exclusive disjunction-XOR) استفاده شده است که آن را معمولا به صورت ترکیب «... یا .... یا» بیان می‌کنند. به عنوان مثال گزاره مورد بحث را می‌توان به این صورت بازنویسی نمود: «پویان یا در مدرسه است یا در سینما».
خلاصه اینکه توجه کنید که یای مانع جمع در منطق ریاضی مورد بحث ما نمی‌باشد و هر کجا که بین دو گزاره لفظ «یا» بیان می‌شود مقصود یای منطقی است و در گزاره pVq امکان درست بودن توام هر دو گزاره وجود دارد.

• لازم به توضیح است که ترکیب فصلی برای چند گزاره هم قابل تعریف است. ترکیب فصلی برای سه گزاره p و q و r به این صورت تعریف می‌شود:
  

همچنین ترکیب فصلی چند گزاره هنگامی درست است که حداقل یکی از آنها درست باشند.

ترکیب عطف

گزاره مرکب از ترکیب دو گزاره بوسیله لفظ «و» را ترکیب عطفی دو گزاره می‌گویند. اگر p و q دو گزاره باشند ترکیب عطفی این دو گزاره را به صورت یانشان می‌دهیم و می‌خوانیم «ترکیب عطفی دو گزاره p و q» یا «p و q».
جدول ارزش ترکیب عطفی دو گزاره به این صورت است:

مشاهده می‌کنید که ترکیب عطفی دو گزاره فقط هنگامی درست است که هر دو گزاره موجود در ترکیب درست باشند.
به عنوان مثال گزاره «2 زوج است و 5 اول» گزاره‌ای است درست ولی گزاره «تهران پایتخت ایران است و بغداد پایتخت یونان است» گزاره ای نادرست چون یکی از گزاره‌های موجود در ترکیب (بغداد پایتخت یونان است) نادرست است.

• لازم به توضیح است که ترکیب عطفی بین گزاره‌ها برای بیش از دو گزاره هم قابل تعریف است. ترکیب عطفی برای سه گزاره p و q و r را به این صورت تعریف می کنیم:
  

به همین ترتیب می‌توان برای چند گزاره هم این ترکیب را به کاربرد. ترکیب عطفی بین چند گزاره فقط هنگامی درست است که هریک از گزاره ها درست باشند.

ترکیب شرطی

اگر p و q دو گزاره باشند، گزاره مرکب حاصل از ترکیب دو گزاره با لفظ «اگر...آنگاه» را گزاره شرطی گزاره p با q می‌گوییم. به این ترتیب گزاره شرطی حاصل از دو گزاره p و q به صورت «اگر p آنگاه q» خواهد بود که در این صورت می‌نویسیم:

در گزاره شرطی فوق p مقدم و q تالی گفته می‌شود. جدول ارزش یک گزاره شرطی به این صورت است:

همانطور که مشاهده می‌کنید یک گزاره شرطی فقط و فقط زمانی نادرست است که تالی آن نادرست باشد. همچنین مشاهده می‌کنید اگر مقدم یک گزاره شرطی نادرست باشد در هر حالت خود گزاره شرطی درست خواهد بود که در این حالت می‌گوییم گزاره شرطی به انتفاء مقدم درست است که این مسئله در اثبات برخی قضایا کاربرد دارد.

به عنوان مثال گزاره «اگر 3>2 آنگاه 2<1» یک گزاره نادرست است و گزاره «رابطه تهی یک تابع است» به انتفاء مقدم درست است(چرا؟).

روش‌های بیان گزاره شرطی

بیان گزاره‌های شرطی در زبانهای طبیعی بسیار متنوع است. گزاره‌های زیر همگی به یک معنی می‌باشند:

• اگر p (آنگاه) q
• هرگاه p (آنگاه) q
• درحالیکه p آنگاه q
• p فقط وقتی که q
• q اگر p
• q به شرط آنکه p
• q در صورتی که p

همچنین بجز این روش‌ها دو روش زیر از اهمیت خاصی برخوردارند که در مورد آنها بیشتر توضیح می‌دهیم:

شرط لازم و شرط کافی

در یک گزاره شرطی، مقدم را شرط کافی برای تالی و تالی را شرط لازم برای مقدم می‌گوییم. بنابراین گزاره «اگر p آنگاه q» را می‌توان به صورت‌های زیر نیز بیان کرد:

• q شرط لازم برای p است.
• شرط لازم برای p آن است که q.
• p شرط کافی برای q است.
• شرط کافی برای q آن است که p.

مثلا گزاره «اگر a>1 آنگاه » را می‌توان به هریک از صورت‌های زیر بیان نمود:

• شرط لازم برای آنکه a>1 آن است که .
• شرط کافی برای آنکه آن است که a>1.
• توجه: گزاره «p مگر آنکه q» هم ارز است با گزاره «اگر q~ آنگاه p». مثلاً گزاره «او را نمی‌بخشم مگر اینکه عذرخواهی کند» را می‌توان به صورت «اگر عذر خواهی نکند اورا نمی‌بخشم» نوشت.

عکس گزاره شرطی

گزاره «اگر q آنگاه p» را عکس گزاره شرطی «اگر p آنگاه q» می‌گوییم. به عبارت دیگر، عکس یک گزاره شرطی، گزاره‌ای است شرطی که مقدم و تالی آن به ترتیب تالی و مقدم گزاره اولیه باشند. مثلاً عکس گزاره «اگر 2>3 آنگاه 1<2» گزاره «اگر 1<2 آنگاه 2>3» می‌باشد که نادرست است. پس مشاهده می‌کنید ممکن است یک گزاره شرطی درست باشد ولی عکش نادرست باشد و بلعکس.

عکس نقیض گزاره شرطی

عکس نقیض یک گزاره شرطی گزاره‌ای است شرطی که مقدم و تالی آن به ترتیب عبارتند از نقیض تالی و نقیض مقدم گزاره اولیه. به عبارت دیگر عکس نقیض گزاره شرطی «اگر p آنگاه q» گزاره «اگر q~ آنگاه p~» می‌باشد. مثلا عکس نقیض گزاره «اگر a فرد است a+1 زوج است» گزاره «اگر a+1 زوج نیست آنگاه a فرد نیست» می‌باشد. باکمی دقت می‌توانید متوجه شوید که عکس نقیض یک گزاره شرطی همواره با خود آن گزاره هم ارز است. این مطلب را می‌توانید در جدول ارزش زیر مشاهده کنید:

مشاهده می‌کنید گزاره شرطی و عکس نقیضش در همه حالات منطقی باهم هم ارز می‌باشند. از این خاصیت در اثبات برخی قضایا استفاده می‌کنیم به این صورت که گاهی برای اثبات یک قضیه شرطی معادلا عکس نقیض آن را اثبات می‌کنیم.

صورت دیگر گزاره شرطی

قبلا گفته شد که یک گزاره شرطی را به صورت نشان می‌دهند. حال قضیه زیر صورتی دیگر را برای گزاره شرطی نشان می‌دهد:
قضیه: گزاره شرطیبا گزارههم ازر است.
برهان:
برای اثبات این مطلب لز جدول ارزش استفاده می‌کنیم:

همانطور که مشاهده می‌کنید در همه حالات منطقی دو گزاره دارای ارزش یکسان می‌‌باشند پس دو گزاره فوق هم‌ارز می‌باشند.
به عنوان مثال گزاره شرطی «اگر باران ببارد زمین خیس می‌شود» را می‌توان به صورت «باران نمی‌بارد یا زمین خیس می‌شود» نوشت.
از این خاصیت برای تعریف نقیض یک گزاره شرطی استفاده می‌شود.

نقیض یک گزاره شرطی

با توجه به قضیه قبل داریم:

 

 

به عنوان مثال نقیض گزاره شرطی «اگر باران ببارد زمین خیس می‌شود» را می‌توان به صورت زیر نوشت «باران می‌بارد و زمین خیس نمی‌شود» بیان نمود.

ترکیب دو شرطی

گزاره «اگر p آنگاه q و اگر q آنگاه p» را که ترکیب عطفی گزاره شرطی «اگر p آنگاه q» با عکس خودش است را ترکیب دوشرطی گزاره p با q می‌گوییم و به گزاره‌های p و q مولفه‌های گزاره دوشرطی می‌گوییم. گزاره دو شرطی فوق را به صورت می‌نویسیم و به صورت‌های زیر می خوانیم:

• p اگر وفقط اگر (اگر و تنها اگر) q
• شرط لازم و کافی برای آنکه p آن است که q
• p فقط وقتی که q

پس بنابه تعریف فوق داریم:

همچنین جدول ارزش گزاره دوشرطی به این صورت است:

مشاهده می‌کنید گزاره دوشرطی زمانی درست است که مولفه‌هایش هم ارز باشند.

عکس نقیض گزاره دوشرطی

عکس نقیض گزاره دو شرطی را به صورت تعریف می‌کنیم. مثلاً عکس نقیض گزاره دوشرطی
گزاره و به عبارت دیگر گزاره است که آن را چنین بیان می‌کنیم:
«شرط لازم و کافی باری آنکه a مساوی b نباشد آن است که 2a مساوی 2b نباشد.»
با کمی دقت متوجه می‌شوید عکس نقیض یک گزاره دو شرطی نیز با خودش هم ارز است.

 

راستگوها،دروغگوها و استلزام منطقی

گزاره مرکب P را راستگو می‌گوییم هرگاه مستقل از مولفه‌های خود همواره درست باشد و به همین ترتیب گزاره مرکب را دروغگو می‌گوییم هرگاه مستقل از مولفه‌هایش نادرست باشد. به عنوان مثال گزاره مرکب یک راستگو و گزاره مرکب یک دروغگو است.
هر گزاره شرطی همواره درست را یک استلزام منطقی می‌گوییم. اگر گزاره یک استلزام منطقی باشد می‌گوییم p مستلزم q است یا q از p لازم می‌آید.
به عنوان مثال گزاره شرطی یک استلزام منطقی است این مطلب را می‌توان به راحتی با استفاده از جدول ارزش نشان داد:

 

توضیح نمادگذاری

گاهی در نماد گذاری‌ها برای تاکید بیشتر دو نماد متفاوت را برای گزاره‌های شرطی در حالت کلی و گزاره‌ها شرطی درست (استلزام منطقی) به کار می‌برند، به این صورت که یک گزاره شرطی را در حالت کلی چون «اگر p آنگاه q» را به صورت نمایش می دهند و گزاره شرطی درست یا استلزام منطقی را به صورت نشان می‌دهند. البته ما در این مقاله از این روش پیروی نکرده‌ایم و گزاره شرطی را در هر دو صورت با نماد نمایش داده‌ایم.

قضایای گزاره‌ها

در این قسمت به بررسی برخی از قضایا و هم‌ارزی‌های مهم می‌پردازیم و بعضی از آنها را اثبات می‌کنیم:

• نقیض،نقیض یک گزاره شرطی با خود آن گزاره هم ارز است به عبارت دیگر:

اثبات قضیه فوق به سادگی از جدول ارزش گزاره‌ها صورت می‌گیرد.

• ترکیب فصلی دو گزاره خاصیت جابجایی دارد یعنی:
• ترکیب فصلی دو گزاره خاصیت شرکت‌پذیری دارد یعنی:
• F (گزاره نادرست) عامل خنثی در عمل ترکیب فصلی است یعنی برای هر گزاره:
• برای هر گزاره دلخواه چون p داریم:
• برای هر گزاره چون p داریم:
• ترکیب فصلی گزاره‌ها خاصیت خود توانی دارد یعنی:

اثبات قضایای فوق به راحتی با استفاده از جدول ارزش صورت می‌گیرد. به عنوان تمرین سعی در اثبات آنها کنید.

• ترکیب عطفی دو گزاره خاصیت جابجایی دارد:
• ترکیب عطفی گزاره‌ها خاصیت شرکت‌پذیری دارد:
• ترکیب عطفی گزاره‌ها خاصیت خود توانی دارد:
• T عامل خنثی در ترکیب عطفی است، یعنی برای هر گزاره:
• برای هر گزاره مانند p داریم:
• برای هر گزاره مانند p داریم:

چنین عبارات منطقی را اجتماع نقیضین یا تناقض می‌گوییم.

• قاعده زیر موسوم به قانون دمرگان، بیان می‌کند نقیض ترکیب عطفی دو گزاره هم‌ارز است با ترکیب فصلی نقیض‌های آن گزاره‌ها به همین صورت نقیض ترکیب فصلی دو گزاره هم‌ارز است با ترکیب عطفی نقیض‌های آن گزاره‌ها:

 

درستی این قانون را برای حالت اول بوسیله جدول زیر اثبات می‌کنیم:

 

• «و» روی «یا» توزیع‌پذیر است، به همین صورت «یا» نیز روی «و» توزیع پذیر است یعنی داریم:

 

 

• قوانین زیر به قوانین جذب موسوم می‌باشند:

 

به عنوان مثال اولین مورد این قانون را اثبات می کنیم یعنی ثابت می‌کنیم

برای اثبات از عبارت سمت چپ شروع می‌کنیم و سعی می‌کنیم به عبارت سمت راست برسیم:

 

• قوانین زیر به قوانین هم‌پوشانی موسومند:

 

به عنوان نمونه اولین مورد از این خاصیت یعنی را اثابت می‌کنیم:

 

• همانطور که گفته شد در مورد ترکیب شرطی داریم
• هر گزاره شرطی به عکس نقیض خود هم‌ارز است:
• 
• قانون عطف مقدمات:

*قیاس ذوالوجهین موجب:

 

 

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 نظریه مجموعه‌ها

 

دید کلی

نظریه مجموعه‌ها ، سنگ اساسی بنای ریاضیات جدید است. تعریفهای دقیق جمیع مفاهیم ریاضی ، مبتنی بر نظریه مجموعه‌هاست. گذشته از این روشهای استنتاج ریاضی ، با استفاده از ترکیبی از استدلالهای منطقی و مجموعه- نظری تنظیم شده‌اند. زبان نظریه مجموعه‌ها ، زبان مشترکی است که ریاضیدانان منطقی در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک می‌کنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید مفاهیم اساسی و نتایج نظریه مجموعه‌ها و زبانی که در آن بیان شده‌اند، آشنا شود.

تاریخچه نظریه مجموعه‌ها

موسس نظریه مجموعه‌ها جرج کانتور (1845- 1918) است. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلالهای جدید و متهورانه خود را منتشر کرد، اهمیت آنها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه در توسعه بعدی‌اش ، تقریبا در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ کرد و تاثیری عمیق بر گسترش آنها داشت. بطوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید. در واقع توسعه بعضی از نظامهای ریاضی ، از قبیل توپولوژی ، اساسا به ابزار نظریه مجموعه‌ها وابسته است. از اینها مهمتر ، نظریه مجموعه‌ها نیرویی متحد کننده بدست داد که به تمام شاخه‌های ریاضیات مبنای مشترک و مفاهیم آنها ، وضوح و دقتی تازه بخشیده است.

مفهوم مجموعه

عبارت مجموعه در کاربرد محاوره‌ای ، معمولا به معنای دسته‌ای از اشیا در نظر گرفته شده است که به مفهومی وابسته به یکدیگر یا شبیه هم باشند. اگر شی a عنصری از مجموعه s می‌نویسیم (a متعلق به s) و در صورتی که a عنصری از s نباشد، می‌نویسیم a متعلق به s نیست. فرض می‌کنیم s مجموعه‌ای از عناصر باشد اگر s تنها شامل یک عنصر باشد آنگاه s را تک عنصری می‌نامیم. و اگر شامل دو عنصر متمایز باشد، آنگاه s را جفت نامرتب می‌نامیم.

مفهوم زیرمجموعه

T، زیر مجموعه هر مجموعه s است هر گاه جمع عناصر T متعلق به S باشد، این موضوع را با SﮯTنشان می‌دهیم. زیر مجموعه T‌ای از S که با خود S متمایزند، به زیر مجموعه سره S موسومند. در این حالت می‌نویسیم SﮯT .

مجموعه تهی

مجموعه‌ای است که اصلا عنصری ندارد. معرفی این مجموعه برای گرد کردن گزاره‌ها و استدلالهای نظریه مجموعه‌ها مناسب به نظر رسیده است. درست همان طور که عدد 0 گزاره‌ها محاسبه‌های حساب را گرد می‌کند. نماد معمول مجموعه تهی Φ است.

خانواده یا دستگاه

مجموعه‌هایی که عنصرهای آن خود مجموعه‌اند، به خانواده یا دستگاه موسومند. به عنوان مثال ، یک قوم یا ملت ، مجموعه‌ای از اشخاص است و خود عنصری از خانواده اقوام یا ملتهاست. یکی از دستگاههای بسیار مهم ، مجموعه جمیع زیر مجموعه‌های یک مجموعه S است. این دستگاه به مجموعه توانی موسوم است که با (P(S نشان داده می‌شود.

اصول اساسی مشترک دستگاههای اصل موضوعی نظریه مجموعه‌ها

با توجه به اصل موضوعی مجموعه‌ها {به ازای هر yεN و xεN| x = y²} جمیع دستگاههای اصل موضوعی نظریه مجموعه‌ها ، که در نیمه قرن بیستم میلادی توسعه یافتند چهار اصل اساسی مشترک دارند.

اصل توسیع پذیری

اصل توسیع پذیری بر این است که اگر دو مجموعه دارای عنصرهای یکسان (یعنی دو مجموعه که با یک توسیع باشند)، همانندند.

اصل ساخت

اصل ساخت بر این است که انواع محدود خاصی از گزاره‌ها مجموعه‌ها را تعریف می‌کنند. یکی از محدودیتهای معمول این است که گزاره تنها شامل نمادهای شیئی ، نمادهای منطقی و نماد ε است.

اصل وجود مجموعه‌های نامتناهی

وجود مجموعه‌های نامتناهی بیانگر همین مطلب است. البته معنای نامتناهی را باید دقیق کنیم. مشکل است که این اصل با استفاده از ارجاع مستقیم علت را انگیزه موضوعی شود، اما بدون آن قسمت اعظم ریاضیات و علوم نظری از قبیل دیفرانسیل و انتگرال و مکانیک کلاسیک ، بی‌معنا خواهد شد. بی‌آن حتی نمی‌توان اساس مجموعه نظری اعداد طبیعی را بدست آورد.

اصل انتخاب

اگر s دستگاهی از مجموعه‌های ناتهی باشد، آن گاه مجموعه Aای موجود است که بطور دقیق یک عنصر مشترک با هر مجموعه S از S دارد.

اعمال اساسی مجموعه‌ها

• اجتماع: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند. اجتماع B,A برابر است با هم اعضایی که یا در A یا در B و یا در هر دو آنها باشند و آن را به صورت AUB نشان می‌دهیم.
• اشتراک: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند آنگاه اشتراک آنها برابر است با همه اعضایی که هم در A و هم در B هستند و آن را به صورت A∩B نشان می‌دهند.
• تفاضل: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند. آنگاه A-B یعنی مجموعه هم اعضایی که در A هستند ولی در B نیستند.
• متمم: اگر S یک مجموعه باشد و A زیر مجموعه‌ای از آن باشد. آن متمم A مجموعه تمام اعضایی از S است که در A نباشد و آن را با Ā یا Á نشان می‌دهند.

خواص اعمال مجموعه‌ای

اعمال مجموعه‌ای که عبارتند از اجتماع ، اشتراک ، تفاضل و متمم دارای خواص زیرند.

• دارای خاصیت جابجایی‌اند. AUB = BUA و A∩B = B∩A
• شرکت پذیرند. (AUB)UC = AU(BUC)
• توزیع پذیرند. (A∩(BUC) = (A∩B) U (A∩C و یا (AU(B∩C) = (AUB) ∩ (AUC
• متمم متمم هر مجموعه مساوی خود آن مجموعه است.
• اگر S یک مجموعه باشد انگاه اجتماع S با هر زیرمجموعه‌اش برابر S و اشتراک آنها برابر با آن زیر مجموعه است.
• اشتراک هر مجموعه با متممش برابر تهی است و اجتماع آنها باهم برابر مجموعه عناصر (S) می‌باشد.
• قوانین دمورگان (´AUB)´ = (A´∩B) و یا (´A∩B)´ = (A´UB)
• تفاضل دو مجموعه برابر است با متمم اشتراک انها.
• دو مجموعه را ناسازگار می‌گویند هرگاه اشتراک این دو مجموعه تهی باشد.

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 مجموعه مرجع

 

مجموعه فرضی و نسبی جهانی U را مجموعه مرجع می‌نامیم که در نمودار ون (Venn diagram) با مستطیل نمایش داده شده است. زیرمجموعه‌های U را با دایره‌های ویژه‌ای در داخل آن نشان می‌دهیم.

تاریخچه

از زمانی که کانتور به سال 1895 برای نخستین بار نظریه مجموعه‌ها را ارائه کرد تا زمانی که براتراندراسل در سال 1902 پارادوکس راسل را بیان کرد، وجود مجموعه جهانی مطلق ، فرضی مسلم بود. با ارائه پادادوکس راسل انقلابی در ریاضیات و در میان ریاضیدانان برپا شد.

پارادوکس راسل که راسل بیان کرد این بود که وجود مجموعه تمام مجموعه‌ها به تناقض منجر می‌شود. برای حل این تناقض خود راسل و دوست و دانشمند دیگری به نام وایتهد در کتاب اصول ریاضیات و همین طور ریاضیدانان دیگری دست به کار شدند. راسل در کتاب اصول ریاضیات به این مطلب اشاره می‌کند که پایه و اساس تمام تناقضات در بسیاری اصل دور باطل می‌باشد. سوالی که مطرح بود به این ترتیب است که:

آیا همان طور که مجموعه یکتایی تهی وجود دارد. مجموعه‌ای بسیار بزرگ و یکتا به نام مجموعه مرجع می‌تواند وجود وجود داشته باشد که در برگیرنده تمام مجموعه و همه اشیا بدون قید و شرط باشد؟

اگر بتوانیم چنین مجموعه‌ای را فرض کنیم آنگاه باید بتوانیم آن مجموعه را در دسته همه اشیا قرار دهیم لذا مجموعه‌ای می‌یابیم با خاصیت u! ولی با توجه به این که اکثرا مجموعه‌های با بعضی به خودشان تعلق ندارد، دچار مشکل می‌شویم. برای رهایی از این کلاف سردرگم دو لم به ظاهر متناقض زیر را که پارادوکس راس را بین می‌کنند در پایین می‌آوریم:

• لم اول: فرض کنید u مجموعه تمام مجموعه‌ها وجود دارد. فرض کنید: آنگاه: .

 

• لم دوم: فرض کنید u مجموعه تمام مجموعه‌ها وجود دارد. فرض کنید: آنگاه: .

با توجه به دو لم اخیر مجموعه تمام مجموعه‌ها نمی‌تواند بطور مطلق وجود داشته باشد، زیرا در غیر اینصورت به تناقض فوق منجر می‌شود و در مفهوم متناقض نمی‌توانند در یک ظرف جمع باشند.

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 اعداد اصلی

 

مقدمه

تئوری ریاضی مدرن مجموعه‌ها یکی از شگفت‌ترین ابداعات ذهن بشری است. این تئوری به سبب وضوح غیرمعمول بعضی از ایده‌های آن و نیز به جهت بکارگیری برهانهای منحصر بفرد اعمال شده در آن دارای جذابیت وصف ناپذیری است. بهتر از همه اینها ، این تئوری برای تقریبا همه ریاضیات اهمیت فوق‌العاده‌ای قایل شده است. همچنین تاثیر این تئوری بر مبانی ریاضیات بسیار عمیق بوده است. بعلاوه تئوری مجموعه‌ها یکی از پلهای ارتباطی بین ریاضیات از یک سو و فلسفه و منطق را از سوی دیگر تشکیل می‌دهد. فکر و بسط یک تئوری به نام "تئوری مجموعه‌ها" و عمل کردن با آن بصورت یک موضوع خاص و اصیل از آن کانتور ریاضیدان آلمانی اواخر قرن نوزدهم است. آنچه که کانتور خلق کرده و به ریاضیات افزوده تئوری مجموعه‌های نامتناهی و اعداد اصلی است.

تئوری کانتور مفهوم مهم "تناظر یک‌به‌یک" را مورد استفاده قرار می‌دهد. می‌گوییم مجموعه با مجموعه هم‌ارز یا مساوی است و گاه بتوان بین اعضای آن تناظری یک‌به‌یک برقرار نمود. به زبان دقیق‌تر مجموعه با مجموعه هم‌ارز است هرگاه بتوانیم تابعی چون پیدا کنیم که یک‌به‌یک و پوشا باشد.

اعداد اصلی

عده اعضای هر مجموعه را عدد اصلی آن مجموعه می‌نامیم. عدد اصلی مجموعه را با یا نشان می‌دهیم. بنابراین همه مجموعه‌هایی که با هم ، هم‌ارزند دارای یک عدد اصلی هستند به گفته راسل ، 2 ، یعنی عدد اصلی همه مجموعه‌های دوعضوی و ... . هرگاه یک مجموعه متناهی باشد عدد اصلی آن عدد طبیعی است و این عدد اصلی را یک عدد اصلی متناهی می‌نامیم. بنابراین هر یک از اعداد طبیعی یک عدد اصلی متناهی است و هرگاه یک مجموعه نامتناهی باشد، عدد اصلی آن را یک عدد اصلی نامتناهی می‌نامیم. از آنجا که همه مجموعه‌های نامتناهی به یک بزرگی نیستند، عددهای اصلی نامتناهی وجود دارد.

خواص مهم اعداد اصلی مجموعه‌های متناهی

خاصیت مهمی که در مورد اعداد اصلی مجموعه‌های متناهی بدست می‌آید عبارت است از:

همین‌طور عدد اصلی A در دو خاصیت زیر صدق می‌کند:

• 
• اگر A یک مجموعه متناهی باشد آنگاه

عدد اصلی N ، مجموعه اعداد طبیعی ، را به (الف صفر) نشان می‌دهیم. بنابراین اگر A مجموعه عددهای فرد طبیعی باشد.

هر مجموعه که با N هم‌ارز باشد یک مجموعه شمارا نامیده می‌شود.
عدد اصلی R را با c نشان می‌دهیم. بنابراین: (الف صفر) اولین (کوچکترین) عدد اصلی نامتناهی است.

کانتور تاکید می‌کرد که انواع مختلف و بی‌شمار عددهای نامتناهی وجود دارد که ممکن است بصورت یک رشته صعودی تنظیم شوند. بدین لحاظ برای هر عدد اصلی نامتناهی، عدد اصلی نامتناهی دیگری که بزرگتر از آن است را می‌توان ارائه داد. این مطلب محتوای قضیه مشهور کانتور است. (برای اطلاع از این قضیه رجوع کنید به آخر مقاله بند1).

• تذکر: توجه می‌کنیم که عدد اصلی یک مجموعه مانند A ، لزوما یک عدد طبیعی نیست و فقط در حالتی که A یک مجموعه متناهی باشد آنگاه عدد اصلی A همان عدد A است که یک عدد طبیعی است. ولی مثلا عدد اصلی N دیگر یک عدد طبیعی نیست، بلکه عددی است که برای مجموعه A داریم: A بیشمار باشد

 

• اعداد اصلی b,a را در نظر می‌گیریم:

الف) اگر a=cord A و b=cord B و آنگاه جمع b , a را بصورت زیر تعریف می‌کنیم:

ب) اگر a=cord A و b=cord B ، آنگاه ضرب b ,a را بصورت زیر تعریف می‌کنیم:

ج) اگر a=cord A و b=cord B ، آنگاه a به توان b را بصورت زیر تعریف می‌کنیم:

بنابراین برای مجموعه‌های متناهی، جمع و ضرب و توان اعداد اصلی مانند جمع و ضرب و توان معمولی اعداد طبیعی است.

• اعداد اصلی a=cord A و b=cord B را در نظر می‌گیریم در اینصورت:

الف) می‌گوییم a کوچکتر یا مساوی b است و می‌نویسیم اگر
ب) می‌گوییم a کوچکتر از b است و می‌نویسیم (a

قضیه مشهور کانتور

قبل از اینکه قضیه مشهور کانتور را بیان کنم لازم است با مفهوم مجموعه توان که به نشان داده می‌شود آشنا باشید برای هر مجموعه A مجموعه همه زیر مجموعه‌های A مجموعه توان A می‌نامیم. حال به بیان قضیه کانتور می‌پردازیم. طبق این قضیه "هر مجموعه از مجموعه توان خود کوچکتر است". بعبارت دیگر وقتی گفته می‌شود A از B کوچکتر است، بدان معنی است که A با زیرمجموعه‌ای حقیقی از B هم‌ارز است ولی A با فرد B هم‌ارز نیست.

کاربردها

1. مفاهیم مربوط به فضا و هندسه یک فضا توسط تئوری مجموعه‌ها تمام منقلب شده است.
2. مفاهیم اساسی آنالیز ، همانند مفهوم حد ، مفهوم تابع ، اتصال ، مشتق و انتگرال اکنون با استفاده از ایده‌های تئوری مجموعه‌ها توصیف می‌شوند.

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 تاریخچه نظریه مجموعه‌ها

 

معرفی

نظریه مجموعه‌ها ، سنگ اساسی بنای ریاضیات جدید است. تعریفهای دقیق جمیع مفاهیم ریاضی ، مبتنی بر نظریه مجموعه‌هاست. گذشته از این روشهای استنتاج ریاضی ، با استفاده از ترکیبی از استدلالهای منطقی و مجموعه- نظری تنظیم شده‌اند. زبان نظریه مجموعه‌ها ، زبان مشترکی است که ریاضیدانان منطقی در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک می‌کنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید مفاهیم اساسی و نتایج نظریه مجموعه‌ها و زبانی که در آن بیان شده‌اند، آشنا شود.

تاریخچه نظریه مجموعه‌ها

نظریه مجموعه‌ها در اواخر قرن نوزدهم به طور عمده توسط جرج کانتور (1845- 1918) بنیان گذاشته شد. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلالهای جدید و متهورانه خود را منتشر کرد، اهمیت آنها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه در توسعه بعدی‌اش ، تقریبا در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ کرد و تاثیری عمیق بر گسترش آنها داشت. بطوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید و ریاضیدانان سعی کردند مفاهیم ریاضی را بر اساس نظریه مجموعه‌ها تعریف کنند به عنوان مثال می‌توان از تعریف اعداد طبیعی توسط پئانو اشاره کرد. همچنین توسعه بعضی از نظامهای ریاضی ، از قبیل توپولوژی ، اساسا به ابزار نظریه مجموعه‌ها وابسته است. از اینها مهمتر ، نظریه مجموعه‌ها نیرویی متحد کننده بدست داد که به تمام شاخه‌های ریاضیات مبنای مشترک و مفاهیم آنها ، وضوح و دقتی تازه بخشیده است.

هنگامی که می‌خواهیم با مجموعه‌های آشنا شویم می‌توانیم آنها را به سه صورت مورد بررسی قرار دهیم. مطالعه مجموعه‌ها به کلی و آشنایی عمومی با آنها که هر کس که می‌خواهد وارد علوم پایه را مورد مطالعه قرار دهد باید این آشنایی را کسب کند، مطالعه مجموعه‌ها به طور طبیعی و مطالعه مجموعه‌ها به صورت اصل موضوعی. در نظریه مجموعه‌ها دو واژه طبیعی و اصل موضوعی دو واژه متضاد هم می‌باشند. برای آشنایی با نظریه مجموعه‌ها سر فصل‌های زیر را مشاهده کنید:

مجموعه

در این قسمت با مفهوم کلی مجموعه‌ آشنا شده و اطلاعاتی عمومی در مورد آن کسب می‌کنیم.

نظریه طبیعی مجموعه‌ها (Naive set theory)

مطالعه مجموعه‌ها به صورتی طبیعی به عنوان نظریه طبیعی مجموعه‌ها یا Naive set theory است و این همان نظریه‌ای است که در آغاز پیدایش نظریه مجموعه‌ها توسط جرج کانتور مطرح گردید. اما در ادامه این نظریه درگیر اشکالات و پارادکس‌هایی شد، همچون پارادکس راسل، و به این ترتیب نیاز به یک تغییر در نظریه مجموعه ها احساس شد و به این ترتیب ریاضیدانانی چون ارنست تسرملو سعی کردند نظریه مجموعه‌ها را در قالب یک دستگاه اصل موضوعی ارایه کنند که این به ایجاد نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها یا Axiomatic set theory انجامید.

نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها (Axiomatic set theory)

در این نظریه، مجموعه به عنوان یک مفهوم اولیه در نظر گرفته شده و با چند اصل موضوع به برسی خواص مجموعه‌ها پرداخته می‌شود. اصول مورد بررسی این نظریه عبارتند از:

• اصل موضوع گسترش
• اصل موضوع تصریح
• اصل موضوع مجموعه تهی
• اصل موضوع زوج سازی
• اصل موضوع اجتماع
• اصل موضوع مجموعه توانی
• اصل موضوع انتخاب
• اصل موضوع گسترش
• اصل موضوع جایگزینی

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 پارادکس راسل

 

(Russell Bertrand)

لرد برتراند آرتور ویلیام راسل فیلسوف و ریاضیدان انگلیسی(1872-1970) است که از جمله افراد روشنفکر و متفکر عصر خود بود. او برای جلوگیری از آزار زنان و حق تحصیل آنها مبارزات زیادی انجام داده است. همچنین او برنده جایزه نوبل در ادبیات شده است و یک ریاضیدان برجسته بود.او معتقد بود ریاضیات از منطق قابل تفکیک نمی باشد و به این دلیل فکر مدرسه منطق را بنیان گذاشت.
او به همراه آلفرد وایتهد تلاش کرد سیستمی را در منطق ابداع کند که ریاضیات مبتنی بر آن باشد. نتیجه این تلاش کتابی به عنوان Principal Mathematics در سه جلد شد. اگر چه بعدها گودل نشان داد که چنین تلاشهایی محکوم به فنا است و چنین سیستمهای منطقی کار آمد نخواهند بود.
نامه ای که راسل به همکار خود فرگه فرستاده است بسیار مشهور است او این نامه را در بهار سال 1901 هنگامی که فرگه روی اثر خود یعنی اصول ریاضیات کار می کرد فرستاد که در آن نامه پارادکسی را مطرح کرد که بعدها به نام پارادکس راسل شناخته شد و میتوان گفت از مشهور ترین پارادکس های تاریخ ریاضیات است. پارادوکس او چنین بود: آیا مجموعه همه مجموعه هایی که عضو خودشان نمی باشند عضوی از خودش است یا نه؟!
به عبارت دیگر مجموعه‌ی R را مشتمل بر همه‌ی مجموعه‌هائی در نظر بگیرید که عضو خودشان نیستند.یعنی:

حال آیا R عضوی از خودش است یا خیر؟
1-اگر R عضوی از خودش باشد، پس واجد شرایط اعضای R است، یعنی عضو خودش نیست!
2-اگر R عضوی از خودش نباشد، پس واجد شرایط اعضای R نیست، یعنی عضو خودش است!!
این‌جا نیز روشن نیست که در نهایت این مجموعه (یعنی R) عضو خودش هست یا خیر؟

صورتهای گوناگونی از این پارادکس وجود دارد به عنوان مثال یک شکل ساده آن به این صورت است:

«فرض کنید که در یک شهر آرایشگری وجود دارد که فقط و فقط سر کسانی را اصلاح می‌کند که خودشان سر خود را اصلاح نمی‌کنند، به علاوه هر کسی که خودش سر خود را اصلاح نمی‌کند، سرش را پیش این آرایشگر اصلاح می‌کند! حال به عقیده‌ی شما این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح می کند یا خیر؟ پاسخ بسیار حیرت انگیز است:

اگر این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح نکند، پس در زمره‌ی افرادی که سر خودشان را خود اصلاح نمی‌کنند قرار دارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح می‌کند!

اگر این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح کند، پس در زمره‌ی افرادی که سر خودشان را اصلاح نمی کنند قرار ندارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح نمی کند!

و در حقیقت روشن نیست که در نهایت این آرایشگر با سر خود چه می‌کند! اصلاحش می کند یا خیر؟

شاید بتوان گفت این پارادکس مشهور ترین پارادکس تاریخ ریاضیات است. این پارادکس منجر به تحولات بسیار زیادی در منطق ریاضیات و فلسفه (ریاضی و غیر آن) شد. یکی از مهمترین این تحولات تغییر نگرش ریاضی‌دانان نسبت به مفهموم مجموعه بود، چرا که راسل نشان داد علت مواجه با این پارادکس، تعریف ناسازگاری است، که از مفهوم مجموعه در ذهن ریاضی‌دانان وجود دارد.

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 مفهوم مجموعه

 

نظریه مجموعه‌ها (Set theory) یکی از مهمترین بخش های ریاضیات است که می‌توان گفت یکی از ستون‌های ریاضیات را تشکیل می دهد و بدون آن تعریف بسیاری از مفاهیم ریاضی غیر ممکن می‌باشد. پاسخ به این سوال که «مجموعه چیست؟» بسیار دشوار است و اصولاً مجموعه (Set) همانند نقطه و خط از جمله مفاهیم تعریف نشده در ریاضیات است و لذا نمی‌توان تعریفی دقیق برای مجموعه بیان نمود. در توصیف یک مجموعه می توان گفت:
«دسته ای از اشیای کاملاً مشخص و دو به دو متمایز را که در یک خاصیت مشترک باشند و بتوان با قاطعیت بیان نمود که شی خاصی در این مجموعه موجود است یا نه را مجموعه می گوییم.» به عبارت دیگر در تعیین اعضای یک مجموعه نباید هیچ گونه ابهامی موجود باشد. این نوع توصیف شهودی از یک مجموعه نخستین با توسط جرج کانتور(1845-1918) (Georg Cantor) که خود نظریه مجموعه ها را در سال 1895 پایه گذاری کرده است، ارائه شده است.
به کلیه اشیایی که مجموعه را تشکیل می دهند عضو (member) یا عنصر (element) آن مجموعه می گویند.
در این توصیف از یک مجموعه نکات زیر قابل توجه است:

• اعضایی که در یک مجموعه قرار می‌گیرند باید کاملا مشخص باشند و به عبارت دیگر در پاسخ به این سوال که آیا شیء عضوی از این مجموعه است یا نه؟ هیچ ابهامی موجود نباشد.

به عنوان مثال دسته دانشجویان متاهل، اعداد طبیعی کوچکتر از 10، دسته خروسهای تخم گذار(!) بیانگر یک مجموعه می‌باشند در حالی که دسته دانشجویان روشنفکر، دسته اعداد طبیعی بزرگ، دسته شهرهای زیبای ایران بیانگر یک مجموعه نمی باشند چرا که در هر یک از این دسته‌ها در تعیین اشیایی که در مجموعه قرار دارند دچار ابهام می‌شویم. مثلا به طور دقیق معیاری برای روشنفکر بودن دانشجو موجود نمی‌باشد تا با قاطعیت بتوان گفت یک دانشجو خاص در این مجموعه قرار دارد یا نه(این امر تاحدی سلیقه‌ای است) و یا در تعیین مجموعه اعداد طبیعی بزرگ معیاری برای بزرگ بودن عدد وجود ندارد و ممکن است شخصی عدد 1000 را بزرگ در نظر بگیرد در حالی که شخصی دیگر به جای عدد 1000 عدد 10000000 را بزرگ در نظر گرفته و آن را عضو مجموعه بداند. همین مشکل در تعیین مجموعه شهر های زیبای ایران وجود دارد، ممکن است به نظر شخصی شهر اصفهان زیباترین باشد و در نظر دیگری شهر شیراز و لذا در تعین عضو مجموعه با ابهام روبرو هستیم.

• اعضایی که در یک مجموعه قرار می گیرند دو به دو متمایز اند و به عبارت ساده تر در یک مجموعه تکرار اعضا مجموعه جدیدی را بوجود نمی‌آورد و هر عضو یکبار نوشته می‌شود. همچنین در بین عضوهای یک مجموعه ترتیب وجود ندارد و با جابجایی اعضای یک مجموعه، مجموعه جدیدی به وجود نمی‌آید.
• اعضای مجموعه در یک خاصیت مشترک‌اند. یعنی هر عضو یک مجموعه این خاصیت مشترک را دارد و هر عضوی که این خاصیت را داشته باشد عضوی از این مجموعه است.

یک مجموعه را با حروف بزرگ انگلیسی چون...,S,A,B,C و اعضای آن را با حروف کوچک چون...,a,b,c نشان میدهیم.
برای نمایش یک مجموعه معمولا اعضای آن را بین دو { } قرار می دهیم مثلا مجموعه اعداد یک تا ده را به این صورت نشان می‌دهیم: {A={1,2,3 (روشهای دیگر نمایش مجموعه را در ادامه توضیح می‌دهیم)

 

عضویت

همانطور که گفته شد، اشیایی را که مجموعه را تشکیل میدهند عضو (member) یا عنصر(element) آن مجموعه می‌گوییم. نماد برای نمایش عضویت به کار می رود که نباید آن را با حرف اپسیلون یونانی اشتباه گرفت.اگر a عضوی از مجموعه A باشد می نویسیمو می‌خوانیم «a متعلق به مجموعه A است» یا «مجموعه A شامل عضو a است» و در غیر این صورت برای نقیض این گزاره می‌نویسیم که به این معنی است: «a عضو مجموعه A نمی‌باشد».

• مثال: مجموعه {{{A={a,{a,{a چند عضو دارد؟

پاسخ: این مجموعه دارای دو عضو است که عبارت اند از:
توجه کنید که a یک عضو از A محسوب می شود ولی {a} دیگر یک عضو از مجموعه A نمی‌باشد چرا که {a} دیگر یک مجموعه است و مفهوم آن با a متفاوت است.

 

مجموعه تهی و مرجع

• مجموعه تهی(Empty set-Null set):

مجموعه ای که دارای هیچ عضوی نباشد مجموعه تهی (empty set) یا نول (null set) می گوییم و آن را با نماد (فی) یا {} نمایش می دهیم.
توجه کنید که مفهوم یا {} اساساً با متفاوت است و مجموعه بیانگر مجموعه تهی نمی باشد چرا که خود دارای عضو است.

• مجموعه مرجع یا جهانی(عام) (Universal set):

در هر مجموعه مورد بحث اعضای مجموعه خود متعلق به مجموعه ای بزرگتر و گسترده تری هستند که به آن مجموعه مرجع یا عالم سخن می گوییم. مثلا در مجموعه {A={a,b,c مجموعه مرجع مجموعه حروف انگلیسی است و یا در مجموعه {1,2,3,4} مجموعه مرجع را می توان مجموعه اعداد طبیعی(یا مجموعه دیگری چون مجموعه اعداد حقیقی) در نظر گرفت. مجموعه مرجع را با نمادهای U,M و یا V نشان میدهند.
لازم به تذکر است که گاهی به غلط مجموعه مرجع را به عنوان «مجموعه همه مجموعه ها» تعریف می کنند. در ادامه مطالعه نظریه مجموعه ها متوجه می شویم که مجموعه همه مجموعه ها اساسا وجود ندارد و این تعریف نادرست از مجموعه مرجع باعث تناقض می‌شود. پس در تعریف مجموعه مرجع باید دقت کرد تا این اشتباه رخ ندهد.

 

نمایش مجموعه‌ها

نمایش تفضیلی(نمایش با اعضا)

در این روش اعضای مجموعه را در بین دو { } قرار می‌دهیم و به این ترتیب مجموعه مشخص می‌شود. به عنوان مثال مجموعه اعداد صحیح بین 2- تا 2 را به این صورت نمایش می‌دهیم: {A={-2,-1,0,1,2
اما این روش دارای محدودیت‌هایی است. اول اینکه برای نمایش مجموعه‌هایی با تعداد عضوهای زیاد کارایی کمی دارد و دوم اینکه اصولا برخی مجموعه‌ها را نمی‌توان با استفاده از نمایش اعضا مشخص کرد. به عنوان مثال مجموعه اعداد گویا یا حقیقی به این روش قابل نمایش نمی‌باشند(چرا؟). به این ترتیب به روشهای دیگری برای نمایش مجموعه‌ها نیاز داریم.

نمایش توصیفی(با علائم ریاضی)

در این روش برای نمایش یک مجموعه خاصیت مشترک بین اعضای مجموعه را بیان می‌کنیم. اگر (P(x یک گزاره نما در باره x باشد که خاصیتی را در باره x بیان می‌کند و U مجموعه مرجع (عالم سخن) باشد، مجموعه همه عضوهایی از U که خاصیت (P(x را به عنوان خاصیت مشترک دارند به این صورت نشان داده می‌شود که خوانده می‌شود مجموعه xهایی از U به طوری که(به قسمی که) (P(x(یا x خاصیت (P(x را دارا باشد). علامت | به معنی «به طوری که» یا «به قسمی که» است. به عنوان مثال مجموعه {A={-2,-1,0,1,2 را می‌توان بهصورت نشان داد.
در حقیقت اساس این روش اصلی است که در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها به آن اصل تصریح مجموعه‌ها (axiom of specification of sets)می گویند.

نمودار ون

در این روش که به آن نمودار اویلر هم گفته می‌شود از یک نمودار هندسی برای مشخص کردند یک مجموعه استفاده می‌شود که به نوبه خود دارای اهمیت است و بوسیله آن درک برخی از قضایا و مفاهیم در مورد مجموعه‌ها آسان می‌شود.
در این روش اعضای مجموعه مورد نظر را در داخل یک شکل هندسی بسته (معمولا دایره یا بیضی) قرار می‌دهیم و در صورت نیاز برای نمایش مجموعه مرجع شکل مورد نظر را داخل یک مستطیل قرار می‌دهیم. البته گاهی فقط نیاز به نمایش یک مجموعه است و اعضای آن برای ما مهم نمی‌باشد که در این صورت رسم یک دایره به عنوان یک مجموعه کافی است.
به عنوان مثال مجموعه {A={-2,-1,0,1,2 را به صورت زیر نشان می‌دهیم:

و هرکجا نیاز به نمایش یک مجموعه دلخواه چون A باشد آن را به این صورت نشان می‌دهیم(M مجموعه مرجع است):

توجه داشته باشید که از نمودار ون نمی‌توان به عنوان اثباتی برای قضایای مجموعه‌ها استفاده کرد و این نمودارها تنها می توانند ایده اثبات قضیه‌ای را به ما بدهند و یا فهم مطلب را برای ما آسان کنند.

 

معرفی چند مجموعه مهم

برای برخی از مجموعه‌های خاص اسامی خاضی بکار می‌بریم که باید آنها را به خاطر سپرد:

• مجموعه اعداد طبیعی را با نشان می‌دهیم.

• مجموعه اعداد طبیعی نابیشتر از عدد طبیعی k را قطعه‌ای از اعداد طبیعی می‌گوییم و به صورت نشان می‌دهیم.

• مجموعه همه اعداد اول را با نشان می‌دهیم.
• مجموعه اعداد حسابی را با نشان می‌دهیم.

• مجموعه اعداد صحیح را با نشان‌ می‌دهیم.

• مجموعه اعداد گویا (منطق) را با نشان می‌دهیم.

• مجموعه اعداد گنگ یا اصم را با نشان می‌دهیم.
• مجموعه اعداد حقیقی را با نشان می‌دهیم.
• مجموعه همه اعداد حقیقی بین دو عدد a و b را که شامل خود a و b نیز می‌باشد را بازه بسته a و b می گوییم و آنرا به صورت زیر نمایش می دهیم.

• مجموعه همه اعداد حقیقی بین دو عدد حقیقی a و b را بازه باز a و b می‌گوییم و آنرا به صورت زیر نشان می‌دهیم.

• مجموعه اعداد حقیقی بین دو عدد حقیقی a و b را که شامل a می‌باشد را به صورت زیر نشان می‌دهیم:

• مجموعه اعداد حقیقی بین دو عدد a و b را که شامل b می‌باشد را به صورت زیر نشان می‌دهیم.

• مجموعه اعداد مختلط را به صورت زیر نشان می‌دهیم.

 

تساوی دو مجموعه

دو مجموعه A و B را برابر می‌گویند و می‌نویسند A=B هرگاه عضوهایشان یکی باشد، به عبارت دیگر هر عضو از مجموعه A در B موجود باشد و هر عضو از مجموعه B در A موجود باشد. به بیان ریاضی A=B است اگر وفقط اگر:

با توجه به تعریف فوق از تساوی دو مجموعه دو مجموعه A و B را نامساوی می گوییم و می نویسیم هرگاه حداقل یک عضو در یکی از این دو مجموعه موجود باشد که به دیگری متعلق نباشد.(نقیض گزاره فوق)

• مثال: چه شرایطی بین a,b,c,d موجود باشد تا تساوی زیر برقرار باشد:

پاسخ: واضح است که بر طبق تعریف اعضای دو مجموعه باید یکسان باشند که لازم می آید داشته باشیم: {c}={a} و {a,b}={c,d} که از این دو عبارت نتیجه می گیریم که: a=b و c=d

اصل گسترش

این اصل بیان می‌کند، شرط لازم و کافی برای اینکه دو مجموعه A,B باهم برابر باشند این است که هر عضو A، عضو B و هر عضو B، عضو A باشد.

 

زیرمجموعه

اگر A و B دو مجموعه باشند، می‌گوییم A زیرمجموعه (subset) یا جز B است هرگاه هر عضو A در B نیز موجود باشد. در این صورت می‌گوییم مجموعه A زیرمجموعه یا جز B است یا B یک ابر مجموعه (superset) یا حاوی مجموعه A است. همچنین اگر A زیرمجموعه B باشد و در عین حال B دارای عضوی غیرمتعلق به A باشد می‌گوییم A یک زیرمجموعه حقیقی (proper subset) یا محض(سره) B است یا B یک ابر مجموعه حقیقی A است. نمادعلامت زیرمجموعه بودن است.
گزاره «A زیرمجموعه B است» را به صورت نمایش می‌دهند، همچنین گزاره «B یک ابرمجموعه A است» را به صورتمی‌نویسیم و اگر A یک زیرمجموعه محض B باشد می‌نویسیمو یا.
از تعریف فوق نتیجه می‌شود گزاره «A زیرمجموعه B است» معادل است با گزاره زیر:

نقیض گزاره را به صورت نشان می‌دهیم و معادل با این مطلب است که عضوی در A هست که متعلق به B نمی‌باشد. همچنین اگر A زیرمجموعه‌ای از B باشد، این مطلب را به شکل زیر بوسیله نمودار ون نشان می دهیم:

با استفاده از مفهوم زیر مجموعه می‌توان اصل گسترش را به این صورت بیان کنیم:
A=B است اگر و فقط اگر
برهان:
مطابق این اصل A=B است اگر و فقط اگر هر عضو A متعلق به B باشد یا معادلاً و هر عضو B متعلق به A باشد یا معادلاً پس:

به عنوان مثال مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعه‌ای از اعداد صحیح می‌باشد.

قضایا

• قضیه1- تهی زیرمجموعه همه مجموعه‌ها است.

برهان:
اثبات این قضیه به برهان خلف است.اگر تهی زیرمجموعه مجموعه دلخواه A نباشد(فرض خلف) پس عضوی در مجموعه تهی وجود دارد که متعلق به مجموعه A نمی‌باشد که این تناقض است چون تهی هیچ عضوی ندارد و لذا تهی زیرمجموعه A است. البته با نگاهی دقیق‌تر متوجه می‌شویم این قضیه خود به خود به انتفاع مقدم برقرار است چرا که این قضیه به نوعی بیان می‌کند اگر A یک مجموعه دلخواه باشد:

که چون مقدم این گزاره شرطی نادرست است پس این گزاره شرطی درست خواهد بود و حکم برقرار است.

• قضیه2- هر مجموعه زیرمجموعه خودش است.

برهان:
اثبات به برهان خلف است. فرض می‌کنیم A مجموعه‌ای دلخواه باشد و A زیرمجموعه خودش نباشد یعنی پس عضوی در A هست که متعلق به A نیست که این بوضوح یک تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است.

• قضیه3- رابطه زیرمجموعه بودن دارای خاصیت تعدی است. به بیان دقیق‌تر اگر A وB و C سه مجموعه باشند که و آنگاه

برهان:
برای اثبات کافی است نشان دهیم هر عضو از مجموعه A به مجموعه C نیز متعلق است. برای این کار یک عضو دلخواه و از این پس در سرتاسر اثبات ثابت را در نظر می‌گیریم و نشان میدهیم تعلق این عضو به مجموعه A، تعلق به مجموعه C را نیز ایجاب می کند.
پس فرض می‌کنیم x عضوی دلخواه و از این پس ثابتی از مجموعه A باشد. چون A زیرمجموعه B است داریم:

و چون B زیرمجموعه C است خواهیم داشت:

پس x متعلق به مجموعه C نیز می‌باشد و چون x دلخواه اختیار شده بود داریم پس:

مثال: زیرمجموعه‌های مجموعه را بنویسید.
پاسخ:

یافتن تعداد زیرمجموعه‌ها

• قضیه: تعداد زیرمجموعه‌های k عضوی از یک مجموعه n عضوی برابر است با:

برهان:
برای یافتن تعداد زیرمجموعه‌های k عضوی یک مجموعه n عضوی کافی است تعداد حالات ممکن برای انتخاب k عضو از میان n عضو مجموعه را بیابیم و چون در مجموعه‌ها ترتیب اهمیت ندارد تعداد حالات ممکن برابر است با ترکیب k عضو از n عضو یا برابر است با

• قضیه: تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه n عضوی برابر است با

برهان:
واضح است که تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه n عضوی برابر است با تعداد کل زیرمجموعه‌های تک عضوی بعلاوه تعداد زیرمجموعه‌های 2 عضوی تا زیرمجموعه‌های n عضوی بعلاوه یک برای مجموعه تهی. پس بنا به قضیه قبل تعداد کل زیرمجموعه‌های یک مجموعه n عضوی برابر است با:

که حاصل عبارت فوق برابر است با مجموعه ضرایب بسط دوجمله‌ای نیوتنکه برابر است با:

 

مجموعه مجموعه‌ها و مجموعه توانی

اگر هر عضو مجموعه A خود یک مجموعه باشد، A را مجموعه مجموعه‌ها یا دسته‌ای از مجموعه‌ها می‌گوییم.
مجموعه توانی:
اگر A یک مجموعه باشد آنگاه مجموعه همه زیرمجموعه‌های مجموعه A را مجموعه توانی (Power set) مجموعه A می‌گوییم و آن را با نشان می‌دهیم. یعنی:

قضایا

• قضیه5- برای هر مجموعه A داریم:
  • 
  • 
  • 

اثبات قضایای فوق بدیهی است.

• اگر A دارای n عضو باشد مجموعه توانی A دارای دقیقاً عضو است.

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 ریاضیات گسسته و ترکیبیاتی از دیدگاه کاربردی

 

برای خریدکتاب اینجاکلیک کنید

|+| نوشته شده توسط علیرضا در یکشنبه دوم اردیبهشت 1386  |

 ریاضیات چیست

 

 

|+| نوشته شده توسط علیرضا در شنبه یکم اردیبهشت 1386  |

 مشتق و کاربرد آن

 

مشتق گیری و مشتق پذیری :

در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:


که در این فرمولنشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند:


معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x، استفاده میکنند:





یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند.

بررسی مشتق از نظر هندسی :

از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حد گیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود:

عکس پیدا نشد

بزرگنمایی خط مماس بر یک نقطه روی خط

در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط و حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است:

ارتباط مشتق با علم فیزیک :

مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود.

نقاط بحرانی :

نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(دربهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند.

تجزیه و تحلیل نمودارها :

مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع یک نقطه بحرانی در x=0 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست.
آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند.

 

رسم خم با استفاده از مشتق اول:

وقتی بدانیم که تابعی در هر نقطه از بازه‌ای مشتق دارد، بنابر قضایای مشتق خواهیم دانست که تابع در سراسر آن بازه پیوسته است و نمودارش در آن بازه قطع شدگی ندارد. مثلا نمودارهای توابع مشتقپذیر y=Sin x همانند نمودار چند جمله‌ایها ، هر چه ادامه بیابند قطع نمی‌شوند. نمودارهای y = tan x و y = 1/x² صرفا در نقاطی که توابع مربوط تعریف نشده هستند قطع می‌شوند. بر بازه‌ای که این نقاط را شامل نباشند توابع مزبور مشتق پذیرند؛ و بنابراین پیوسته‌اند و نمودارهایشان قطع شدگی ندارد. اگر بدانیم مشتق تابعی کجا مثبت و کجا منفی و کجا صفر می‌باشد، آنگاه می‌توانیم درباره شکل نمودار آن تابع اطلاعاتی بدست آوریم. با دانستن این مطلب می‌توان مشخص کرد که نمودار در کجا بالا می‌رود ، پایین می‌آید یا مماس افقی دارد.

تایعی چون (y = f(x را سراسر یک بازه Iصعودی می‌گویند. هرگاه با افزایش y , x هم زیاد شود ؛ و در سراسر I نزولی گویند هرگاه با افزایش x و y کاهش یابد. وقتی x در I از چپ به راست حرکت می‌کند نمودار یک تابع صعودی ، خیز بر می‌دارد و نمودار یک تابع نزولی افت می‌کند. صعود یک تابع با مشتقهای مثبت همراه است و نزول تابع با مشتقهای منفی. بنابراین اگر ´f در هر نقطه از یک بازه I مثبت لاشد آنگاه f بر I صعود می کند. و اگر ´f در هر نقطه I منفی باشد، آنگاه f بر I نزول می‌کند. این واقعیتها را به عنوان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن می‌پذیریم. آزمون مشتق اول به زبان هندسی حاکمی است که توابع مشتقپذیر بر بازه‌هایی صعود می‌کنند که نمودارشان شیب مثبت داشته باشند و بر بازه‌هایی نزول می کنند که نمودارشان شیب منفی داشته باشند.

مماسهای افقی:

از آنجا که مشتقی چون ´f در هر بازه I یی که َf تعریف شود دارای ویژگی مقدار میانی است، هر وقت ´f در این بازه تغییر علامت می‌دهد، باید مقدارش صفر شود. پس هر وقت َf در بازه I تغییر علامت می‌دهد نمودار f باید مماس افقی داشته باشد. اگر وقتی x از چپ به راست می‌رود و از نقطه‌ای چون C می‌گذرد، مقدار ´f از مثبت به منفی تبدیل شود، آنگاه مقدار f در c یک مقدار Max موضعی f است. به همین ترتیب اگر وقتی x از از چپ به راست حرکت می‌کند و از نقطه‌ای چون d می‌گذرد. مقدار ´f از منفی به مثبت تبدیل شود. مقدار f در d یک مقدار Min موضعی f است. *نمی‌توان گفت که هر وقت مشتق صفر شد الزاما تغییر علامت در نمودار تابع ایجاد می‌شود، بنابراین گاهی اوقات در حالی که Min , Max وجود ندارند مماس افقی وجود دارد، مثل تابع y = x³ با اینکه y´= 3x² در مبدأ صفر است و در هر دو طرف مثبت است. با این همه مماس افقی y=0 نمودار y = x³ را در مبدأ قطع می‌کند.

تقعر و نقطه عطف:

در این قسمت چگونگی رسم دقیق‌تر نمودار با استفاده از علامت مشتق دوم تابع را تشریح می‌کنیم. همان طور که می‌دانیم تابع y = x³ (برای خودتان رسم کنید) همراه با افزایش x صعود می‌کند. اما قسمتی از خم که مربوط به بازه (0, ∞-) و قسمت مربوط به (∞و0) در جهتهای متنفاوتی می‌پیچیند، اگر در امتداد خم از سمت چپ به طرف مبدأ برویم پیچش خم به سمت راست است. وقتی از مبدأ دور می‌شویم، خم به سمت چپ می‌پیچد. توصیف پیچش به طریق دیگر این است که وقتی نقطه تماس از سمت چپ به مبدأ میل می‌کند مماس بر خم در جهت ساعت می‌چرخد، در این حالت شیب خم تقلیل می‌یابد. وقتی نقطه تماس از مبدأ وارد ربع اول می‌شود، مماس در خلاف جهت ساعت می‌چرخد. در این حالت می‌گوییم شیب خم زیاد شده است. بنابراین برای یافتن روی تقعر توسط مشتق باید بگوییم در بازه‌ای که ´y کم می‌شود تقعر رو به پایین دارد و در بازه‌ای که ´y زیاد می‌شود تقعر رو به بالا دارد. توسط آزمون مشتق دوم می‌توانیم بگوییم در نمودار (y = f(x ، در بازه‌ای که مشتق دوم y کوچکتر از صفر باشد، تقعر رو به پایین دارد. در بازه ای که مشتق دوم y بزرگتر از صفر باشد، تقعر رو به بالا دارد.

کاربرد نقطه عطف در رسم توابع :

نقطه‌ای از خم که در آن تقعر عوض می‌شود نقطه عطف داریم. پس نقطه عطف خمی که دو بار مشتق پذیر است نقطه‌ای است در یک طرفش مثبت و در طرف دیگرش منفی است و خود مشتق دوم y در نقطه عطف مقدار صفر دارد. البته ممکن است مشتق دوم y در نقطه‌ای که عطف نیست صفر باشد. همچنین ممکن است نقطه عطف در جایی باشد که مشتق دوم y وجود نداشته باشد.

مجانبها و تقارن :

در این قسمت توابع گویا از x را با در نظر گرفتن رفتارشان ، وقتی مخرج به صفر نزدیک یا x از لحاظ عددی بزرگ می‌شود، بررسی می کنیم. نمودار تابع های زوج وفرد تقارنهایی دارند که آگاهی از آنها برای ترسیم نمودارشان مفید و مهم است.

• باید این را بدانیم که نمودار توابع زوج نسبت به محور yها متقارن است و نمودار توابع فرد نسبت به مبدأ مختصات متقارن می‌باشد.

مجانبهای افقی و قائم :

وقتی یک نقطه p روی نمودار تابعی چون (y = f(x رفته رفته از مبدأ دور می‌شود، ممکن است فاصله بین p و خطی ثابت به صفر نزدیک شود؛ به عبارت دیگر ، خم وقتی از مبدأ دور می‌شود به خط میل کند. در این حالت ، خط را مجانب نمودار می‌نامند.


خط y = b مجانب افقی نمودار (y = f(x است اگر داشته باشیم: حد تابع (y = f(x وقتی که x به سمت بینهایت و یا منفی بینهایت میل می‌کند برابر با b شود.


خط x = a مجانب قائم نمودار تابع است، اگر داشته باشیم: حد تابع (y = f(x وقتی که x به سمت a^- و یا a⁺ میل می‌کند برابر با ∞± شود.

مجانب مایل :

اگر تابع گویایی خارج قسمت دو چند جمله‌ای باشد که عامل مشترک نداشته باشند و اگر درجه صورت ، یک واحد از درجه مخرج بیشتر باشد، آنگاه نمودار یک مجانب مایل دارد. و بطور کلی برای رسم نمودار یک تابع باید مجانبها ، تقعرها ، نقاط عطف ، مماسها ، نقاط اکسترمم باید مشخص باشند.

کاربردها :

رسم توابع مورد بحث ما در جاهای بسیار وسیع کاربرد دارد. برای مثال پرتاب یک موشک یا یک سفینه با بدست آوردن توابع مربوط و رسم نمودار آ«ها توسط کامپیوتر قبل از عملیات پرتاب توسط مهندسین مورد بررسی قرار میگیرد تا نحوه حرکت و سایر موارد مو شکافی گردد. در ستاره شناسی ، مکانیک ، شیمی و حتی علوم انسانی رسم نمودار توابع از ارزش اجتناب ناپذیری برخوردار است.

اکسترمم:

اگر تابع در فاصله ی تعریف شده باشد، آنگاه نقطه ی از نقاط داخلی این فاصله رایک نقطه ی ماکزیمم (یا یک نقطه ی مینیمم) تابع گویند، اگر همسایگی این نقطه مانند وجود داشته باشد به طوری که برای هر در این فاصله، نامساوی (یا ) برقرار باشد. نقاط ماکزیمم و مینیمم تابع را نقاط حد نهایی یا نقاط اکسترمم تابع می گویند.

---

 

شرط لازم وجود اکسترمم :

در نقاط اکسترمم مشتق صفر است و یا وجود ندارد.
توجه: نقاطی که در آن ها یا وجود نداشته باشد را نقاط بحرانی گویند.

---

 

شرط های کافی وجود اکسترمم :

1. چنانچه تابع در همسایگی از پیوسته باشد:
   1. اگر وقتی ، و وقتی ، (یعنی زمانی که از طرف چپ به طرف راست نقطه ی حرکت کنیم، علامت مشتق از مثبت به منفی تبدیل شود)، آنگاه نقطه ی ماکزیمم است.
   2. اگر وقتی ، و وقتی ، (یعنی در حرکت از طرف چپ به طرف راست نقطه ی ، علامت مشتق از منفی به مثبت تبدیل شود)، آنگاه را نقطه ی مینیمم گویند.
   3. اگر علامت مشتق در دو طرف نقطه ی ثابت بماند، آنگاه این نقطه اکسترمم نیست.
2. چنانچه تابع در نقطه ی بحرانی دوبار مشتق داشته باشد، اگر ، آنگاه تابع در نقطه ی ماکزیمم دارد و اگر ، آنگاه مینیمم تابع است ولی اگر ، در این حالت موجودیت اکسترمم در نقطه ی مذکور معلوم نیست.
3. جنانجه ولی ، اگر زوج باشد، آنگاه وقتی تابع در ماکزیمم است و وقتی تابع در این نقطه مینیمم است. حال اگر فرد باشد، آنگاه در نقطه ی اکسترمم وجود ندارد.
4. چنانچه تابع با معادلات پارامتری مشخص شده باشد که در آن در فاصله ی تغییرات متغییر مشتقات مرتبه ی اول و دوم دارند و ، به علاوه در ، آنگاه:
   1. اگر آنگاه تابع در ماکزیمم دارد.
   2. اگر آنگاه تابع در مینیمم دارد.
   3. اگر ، در این حالت موجودیت اکسترمم در این نقطه معلوم نیست.

---

محاسبه ی بیشترین و کمترین مقدار تابع :

بیشترین (یا کمترین) مقدار تابع پیوسته ی در فاصله ی یا در نقاط بحرانی و یا در نقاط انتهایی فاصله است. برای تعیین بیشترین (یا کمترین) مقدار تابع، مقدار آن در تمام نقاط بحرانی واقع در فاصله ی ، و مقادیر را حساب می کنیم و سپس بیشتری (یا کمترین) مقدار بین آن ها را انتخاب می کنیم.
اگر فاصله ای که تابع در آن تعریف شده است فاصله ی باز باشد، ممکن است تابع بیشترین (یا کمترین) مقدار نداشته باشد.

|+| نوشته شده توسط علیرضا در شنبه یکم اردیبهشت 1386  |